Mathe Nachhilfe Integralrechnung | Fläche zwischen Funktionen berechnen

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Mathe Nachhilfe Integralrechnung | Fläche zwischen Funktionen berechnen

Die Integralrechnung ist wie auch die Differentialrechnung der wichtigste Zweig des mathematischen Teilgebiets der Analysis. Sie ist aus dem Problem der Flächen- und Volumenberechnung entstanden. Das Integral teilt sich auf in das unbestimmte und das bestimmte Integral.

Die Berechnung von Integralen heißt Integration.

Das bestimmte Integral einer Funktion ordnet dieser einen Zahlwert zu. Bildet man das bestimmte Integral einer reellen Funktion in einer Variablen, so kann man das Ergebnis im zweidimensionalen Koordinatensystem als Flächeninhalt der Fläche, die zwischen d. Graphen der Funktion, der -Achse und den begrenzenden Parallelen zur Y-Achse liegt, deuten. Dabei sind Flächenstücke unterhalb der X-Achse negativ. Man spricht vom orientierten Flächeninhalt. Diese Konvention wird gewählt, damit dieses bestimmte Integral eine lineare Abbildung ergibt, welche sowohl für theoretische Überlegungen als auch für konkrete Berechnungen eine wichtige Eigenschaft des Integralbegriffs darstellt.

Das unbestimmte Integral einer Funktion ordnet selbiger eine Menge von Funktionen zu, deren Elemente Stammfunktionen genannt werden. Diese sind dafür bekannt, dass ihre ersten Ableitungen mit der Funktion, die integriert wurde, übereinstimmen. Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt, dass bestimmte Integrale aus Stammfunktionen berechnet werden können.

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Im Gegensatz zur Differentialrechnung existiert für die Integration auch elementarer Funktionen kein einfacher und kein alle Fälle abdeckender Algorithmus.

Integration erfordert trainiertes Raten, Benutzung spezieller Umformungen z.B. Integration durch Substitution oder partielle Integration, Nachschlagen in einer Integraltafel oder Benutzung spezieller Computer-Software.


1. Integralrechnung: Grundlagen und Summenregel
2. Elementare Integrationsregeln
3. Integralrechnung mit Integrationsgrenzen
4. Fläche und Integralrechnung

Ziel ist es, die Fläche unter einer Funktion zu berechnen!!!

Stammfunktion
Was versteht man unter einer Stammfunktion und wie berechnet man sie?

Unbestimmtes Integral
Was ist ein unbestimmtes Integral und wie hängt es mit der Stammfunktion zusammen?

Integrationsregeln
Welche Regeln muss man beim Rechnen mit Integralen beachten?

Partielle Integration
Wie funktioniert eine partielle Integration?

Integration durch Substitution
Wie funktioniert eine Integration durch Substitution?

Bestimmtes Integral
Wie berechnet man Integrale mit Integrationsgrenzen?

Flächenberechnung mit Integralen
Wie hängt die Integralrechnung mit der Berechnung von Flächen zusammen?

Fläche zwischen Graph und x-Achse
Wie berechnet man die Fläche zwischen Graph und x-Achse?

Fläche zwischen zwei Graphen
Wie berechnet man die Fläche zwischen zwei sich schneidenden Graphen?

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Flächenberechnung mit Integralen

Fläche zwischen Graph und x-Achse

Will man von einer beliebigen Funktion die Fläche zwischen Graph und x-Achse berechnen, so muss man folgende Schritte durchführen:
1. Nullstellen der Funktion berechnen
2. Überprüfen, welche Nullstellen im betrachteten Intervall liegen
3. Überprüfen, ob der Graph an der jeweiligen Nullstelle sein Vorzeichen wechselt
4. Abschnittsweise integrieren
- jede Nullstelle mit Vorzeichenwechsel definiert einen neuen Abschnitt
- addiere die einzelnen Flächen betragsmäßig

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