Mathe Nachhilfe | Nullstellen durch Substitution | Biquadratische Gleichungen

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Mathe Nachhilfe | Nullstellen durch Substitution | Biquadratische Gleichungen

Mithilfe der Substitution können Gleichungen aufgelöst werden, um z.B. die Nullstellen zu bestimmen.

Mathe Nachhilfe | Nullstellen durch Substitutionsverfahren bei Biquadratischen Gleichungen berechnen.

Nullstellen einer Funktion sind die Stellen, an denen der Funktionswert f(x) = 0 wird. Graphisch bedeutet dies: Schnittpunkt mit der x-Achse.

Gleichungen der Form f(x) = 0 treten in der Mathematik häufig auf, z.B. Nullstellen einer Funktion, Schnittpunkt von Funktionen (wenn nach dem Gleichsetzen der Funktionsterme die Gleichung so sortiert wird, dass auf der rechten Seite nur noch 0 steht), notwendige Bedingung von Extrem- oder Wendestellen.

Bisher können wir lineare und quadratische Gleichungen lösen.

Gleichungen höheren Grades versucht man, durch Termumformungen auf Gleichungen zurückzuführen, die man mit bekannten Verfahren lösen kann. Dazu dient das Verfahren des Faktorisierens.

Ganzrationale Funktionen, in denen x nur in der 4., 2. und 0. Potenz vorkommt,
z.B. f(x) = x4 + x2 +3 lassen sich durch Substitution der Variablen x2 durch eine andere Variable, z.B. z auf eine quadratische Gleichung zurückführen.


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Verfahren:

Ersetzen Sie x2 durch z, lösen Sie die quadratische Gleichung in z, führen Sie anschließend die Rücksubstitution durch, indem Sie z durch x2 ersetzen und nach x auflösen. Sie erhalten 4 Lösungen für die Variable x.


Nullstellenberechnung durch Substitution

Für Gleichungen 3. und 4. Grades gibt es Lösungsformeln. Diese sind aber so kompliziert, dass sie nicht zu verwenden sind. Für Gleichungen 5. und höheren Grades kann man sogar zeigen, dass es eine Lösungsformel nicht geben kann. Man kann nachweisen, dass es Gleichungen gibt, bei denen die Nullstellen nicht mit Hilfe von Wurzeln darstellbar sind.

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