Mathe Nachhilfe | Was ist eine Ableitung?

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Mathe Nachhilfe | Was ist eine Ableitung?

Was ist eine Ableitung? Was hat die Tangente damit zu tun? Was bedeutet in diesem Zusammenhang die Steigung in einem Punkt?

Eine Ableitung hilft dir, die Steigung eines Graphen an einer beliebigen x-Koordinate zu bestimmen.
Du bildest die Ableitung und setzt in diese den x-Wert ein. Das “Ergebnis” ist die Steigung.

Die Tangente hat an einem “kurvenförmigen” Graphen immer dieselbe Steigung wie der Graph an der Stelle, an dem die Tangente anliegt.
Die Steigung des Graphen ist also mit der Steigung der Tangente gleich.

Die Ableitung spielt daher eine wichtige Rolle bei der Berechnung der Extrema (Extrempunkte, Extremstellen) und bei der Untersuchung der Monotonie einer Funktion.
Das Integral ist das Gegenstück zur Ableitung. Leitet man eine integrierte Funktion ab, erhält man die Ursprungsfunktion und ebenso umgekehrt. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI).


Mathe Nachhilfe | Was ist eine Ableitung?

Ein Extrempunkt ist ein Punkt auf dem Funktionsgraphen, der in einer Umgebung (in einem Intervall), entweder der höchste Punkt ist (dann nennt man ihn Maximum oder Hochpunkt) oder aber der tiefste Punkt (dann nennt man ihn Minimum oder Tiefpunkt) ist.

Maximum: Die Funktion steigt monoton an (die Ableitung ist solange positiv), nach dem Erreichen des Hochpunkt fällt die Funktion monoton (von da an ist die Ableitung negativ). Wir suchen also die Stelle, an der die Ableitung von positiv zu negativ wechselt, also die Nullstelle der Ableitung. Das ist die notwendige Bedingung, an dieser Stelle können wir aber noch nicht entscheiden, ob es sich wirklich um ein Maximum handelt.

Minimum: Die Funktion fällt monoton (solange ist die Ableitung negativ), ab dem Minimum steigt die Funktion wieder monoton (die Ableitung wechselt ins Positive). An der Stelle, an dem die Ableitung Null ist, befindet sich der Extrempunkt. Ob es ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, können wir erst später entscheiden.

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